Ny forskning udfordrer matematikkens ideal: Logiske argumenter er ikke altid nok

Matematikstuderende lærer det på deres første kursus i deres første studieår: Hvis du skal vide, om en matematisk sætning er sand, har du brug en streng af logiske deduktioner.  

Den forestilling om det matematiske ideal går langt tilbage. Men den passer egentlig ikke med måden, som matematikere rent faktisk arbejder på.  

“Matematikere forlader sig ikke kun på logiske argumenter,” fortæller professor ved Institut for Naturfagenes Didaktik Henrik Kragh Sørensen.

Sammen med Mikkel Willum Johansen og Sophie Kjeldbjerg Mathiasen har han gennemtrawlet store mængder af anmeldelser af matematikartikler og har fundet frem til, at matematikere også bruger – og ligefrem efterspørger - induktive eksperimenter til at sige, om noget er sandt. Hvor en kemiker lave et fysisk eksperiment for at vise, hvordan kemiske processer hænger sammen, kan en matematiker lave store regnestykker for at vise, at en algoritme virker eller at en matematisk sammenhæng holder vand.

Det er noget, der får alle matematikere til at krumme tær.

“Vi ser, at matematik-forskere bruger eksperimenter til at underbygge det, som de lige har bevist deduktivt. Det burde jo ikke være nødvendigt, hvis du stoler 100% på dit deduktive argument,” siger Henrik Kragh Sørensen.  

“Nogle få gange så vi endda, at anmelderne ligefrem efterspørger eksperimenter for at lade sig overbevise af, hvad der logisk var blevet bevist. Og det er noget, der virkelig kom bag på os.”

Den sårbare logik  

Eksperimenter, eksempler og tegninger har traditionelt kun en plads i matematikken, som en måde at få ideer på, og til at illustrere det, du har bevist. Så snart du skal give belæg for, at ideen faktisk er sandt, så lyder det herskende ideal, at det skal være ren deduktion.  

Men dette og tidligere forskningsprojekter viser, at matematikere i praksis ikke følger idealforestillingen, siger lektor Mikkel Willum Johansen.

“Vi ser, at matematikere kan lade sig overbevise om, at noget er sandt, gennem eksempler og diagrammer. Og at de lader sig overbevise om, at noget er sandt fordi de hører det fra nogen, de har tillid til,” fortæller han.  

Det giver mening, fordi matematikere trods idealet godt er klar over, at logiske argumenter er sårbare over for, at man laver en fejl.

“Hvis man havde være perfekt til at jonglere rundt med ligninger, havde det ikke været nødvendigt, men det er meget udbredt, at der er huller og småfejl i de logiske argumenter i matematisk forskning. Det overraskende er, at resultaterne næsten altid holder alligevel. En del af årsagen er, at matematikerne i virkeligheden laver en triangulering for at finde ud af om noget er rigtigt”, fortsætter Mikkel Willum Johansen.

Svært for selvforståelsen 

Den forskende matematiker er pragmatisk og gør, hvad der virker, mener Henrik Kragh Sørensen. Matematikerne laver de deduktive argumenter, men supplerer dem med andre former for evidens. Og det er fornuftigt, for på den måde bliver de matematiske resultater mere robuste.

“Hvis du er klar over, at matematikken er fejlbarlig, som alt andet viden, så er det en meget naturlig ting at gøre, for på den måde styrker du din viden og tiltro,” siger han.

“Men det er også noget, der får alle matematikere til at krumme tær. Vi har jo traditionel opfattet matematikken som et sted, hvor vi kan være helt sikre, fordi vi beviser alting logisk. Det udfordrer matematikeres selvforståelse at tænke på matematik som fejlbarlig."

Matematik-forskere bruger eksperimenter til at underbygge det, som de lige har bevist deduktivt.

Det er da heller ikke et billede af matematikken som feltet ønsker frem, men det er vigtigt at forstå, hvordan matematikere rent faktisk arbejder, mener de to forskere.

“Det giver jo god mening at triangulere og bruge forskellige evidensformer, men det kan være svært at kommunikere klart om den praksis, hvis idealet om matematikkens ufejlbarlighed fylder for meget,” siger Henrik Kragh Sørensen.